1月USACO計(jì)算機(jī)競賽'金牌'解題分析！附備考資料領(lǐng)取！

01

Au1:

算法：二分，觀察性質(zhì)

首先假設(shè)當(dāng)前在x軸朝向上行走，什么時(shí)候會(huì)轉(zhuǎn)向到y(tǒng)軸？

我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)前道路距離下一條道路是奇數(shù)距離的時(shí)候會(huì)轉(zhuǎn)向

于是我們可以考慮去二分轉(zhuǎn)向的次數(shù)，計(jì)算出在當(dāng)前轉(zhuǎn)向次數(shù)下運(yùn)動(dòng)的距離，判斷它是否小于等于題目給出的運(yùn)動(dòng)距離

代碼實(shí)現(xiàn)較為復(fù)雜，需要注意細(xì)節(jié)

時(shí)間復(fù)雜度: $O((n+q)*log)

Au2:

算法：動(dòng)態(tài)規(guī)劃

和銀組第一題類似

定義$i$這個(gè)位置是前綴最大值當(dāng)且僅當(dāng)$a[i]>a[j]$ (for all $1le j<i$)< p="">

我們會(huì)發(fā)現(xiàn)對于某個(gè)$(a[i],h[i])$相當(dāng)于要求$[a[i]+1,h[i]-1]$這一段不能是前綴最大值，$h[i]$這個(gè)位置必須是前綴最大值

最終我們將相同情況的序列合并在一起，那么就是有最多$3*Q$段的序列（每一段內(nèi)部要么要求一定是前綴最大值/一定不是前綴最大值/沒有要求），求最終合法的方案數(shù)

定義$dp[i][j]$代表當(dāng)前考慮到前$i$段數(shù)，選的數(shù)的最大值是$j$的方案數(shù)

假設(shè)當(dāng)前這一段序列長度為$len$

當(dāng)一定是前綴最大值時(shí):

$dp[i][j]=sum_{k=1}^{j-1} dp[i-1][k]$

當(dāng)一定不是前綴最大值時(shí):

$dp[i][j]=dp[i-1][j]*j^{len}$

當(dāng)沒有要求時(shí)：

$dp[i][j]=dp[i-1][j]j^{len} + sum_{k=1}^{j-1} dp[i-1][k](j^{len} -(j-1)^{len})$

時(shí)間復(fù)雜度: $O(qclog)$

Au3:

算法：二分

注意到分給Bessie自己的數(shù)越多答案相應(yīng)的會(huì)越大，但是會(huì)越容易滿足題目限制

所以我們考慮去二分 分給Bessie的個(gè)數(shù)$mid$

那么它們分別被加入序列的時(shí)間就是$mid, mid + (mid-1) ,... , mid+...+1$

顯然我們比較希望盡量靠后的數(shù)能被加入到Bessie的序列中，所以對于每一個(gè)加入序列的時(shí)間我們可以貪心的去找到第一個(gè)大于當(dāng)前時(shí)間且沒有被插入到序列中的數(shù)，將它插入到序列中

這個(gè)過程可以用類似于雙指針的思想來優(yōu)化

最終$min(數(shù)字最大值,mid*(mid+1)/2)$就是我們的答案

時(shí)間復(fù)雜度: $O(n*log)$

02